die durch die Reihe \begin{eqnarray}{\bf H}_{\nu}(z):={\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu +1}\displaystyle \sum _{s=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^{2}{({z}^{2}/4)}^{s}}{\Gamma (s\text{}+\text{}3/2)\Gamma \text{(}\nu \text{}+\text{}s\text{}+\text{}3/2\text{)}}\end{eqnarray}

definierte in der komplexen Zahlenebene meromorphe Funktion mit einem möglichen Pol bei z = 0.

Insbesondere konvergiert die Reihe für alle endlichen z ≠ 0, und z^−ν−1H_ν(z) ist eine ganze Funktion. Für festes z ≠ 0 ist H_ν(z) auch eine ganze Funktion in ν, insbesondere ist H_ν(x) für positive x und ν ≥ 1/2 selbst positiv.

Die Struve-Funktion H_ν ist eine Lösung der folgenden inhomogenen Besselschen Differentialgleichung: \begin{eqnarray}{z}^{2}\frac{{d}^{2}w}{d{z}^{2}}+z\frac{dw}{dz}+({z}^{2}-\nu)w=4\frac{{(z/1)}^{\nu +1}}{{\pi}^{1/2}\Gamma (\nu +1/2)}.\end{eqnarray}

Die allgemeine Lösung ist damit gegeben durch \begin{eqnarray}w=a{J}_{\nu}+b{Y}_{\nu}+{\bf H}_{\nu},\end{eqnarray}

wobei J_ν und Y_ν die Bessel-Funktionen erster und zweiter Art der Ordnung ν sind. Für Re ν > 1/2 hat man die folgende Integraldarstellung: \begin{eqnarray}{H}_{\nu}(z)=\frac{2{(z+2)}^{\nu}}{{\pi}^{1/2}\Gamma (\nu +1/2)}\displaystyle \underset{0}{\overset{1}{\int}}{(1-{t}^{2})}^{\nu -1/2}\sin (zt)\,dt\end{eqnarray}

Für die Ableitung der Struve-Funktion beweist man: \begin{eqnarray}\begin{array}{rll}{\bf H}_{0}{^{\prime}} & = & \displaystyle\frac{2}{\pi}-{\bf H}_{1}\\ \displaystyle\frac{d}{dz}({z}^{\nu}{\bf H}_{\nu}) & = & {z}^{\nu}{\bf H}_{\nu -1}\\ \displaystyle\frac{d}{dz}({z}^{-\nu}{\bf H}_{\nu}) & = & \displaystyle\frac{1}{{\pi}^{1/2}{2}^{\nu}\Gamma (\nu +3/2)}-z^{-\nu}{\bf H}_{\nu +1}\end{array}\end{eqnarray}

Ferner gelten die Rekursionsformeln \begin{eqnarray}\begin{array}{ll}{\bf H}_{\nu -1}+{\bf H}_{\nu +1}= & \displaystyle\frac{2\nu}{z}{\bf H}_{\nu}+\frac{{(z/2)}^{\nu}}{{\pi}^{1/2}\Gamma (\nu +3/2)},\\ {\bf H}_{\nu -1}+{\bf H}_{\nu +1}= & 2{\bf H}{^{\prime} _{\nu}}-\displaystyle\frac{{(z/2)}^{\nu}}{{\pi}^{1/2}\Gamma (\nu +3/2)}.\end{array}\end{eqnarray}

Für ν = −(n + 1/2), n ∈ ℕ₀, geht die Struve-Funktion in die gewöhnliche Bessel-Funktion erster Art über: H_−(n+1/2) = (−1)ⁿ J_n+1/2.

[1] Abramowitz, M.; Stegun, I.A.: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, 1972.
[2] Olver, F.W.J.: Asymptotics and Special Functions. Academic Press, 1974.